分蛋糕的学问
切蛋糕前，先来做做数学分析

BY STEVE MIRSKY

姬十三/译 《环球科学》2007年3月号 英文原文 台湾版译文

在梅尔•布鲁克斯（mel brooks）的电影《制片人》中，马克斯•比亚里斯托克（Max Bialystock）和利奥•布卢姆（Leo Bloom）炮制了百老汇音乐剧《希特勒的春天》，并合谋套取25,000％的利润。（如我在2002年10月的专栏中所言，安然事件是这部片子的现实版。）在剧中，两位主角曾有过片刻的反省，一方问道：“一部音乐剧杂七杂八加在一起，可以卖掉百分之多少？”另一人轻轻地回答：“任何东西，你只能卖出百分之百。”直到最近，我终于领悟到这种说法并非事实。

一个数学家、一个政治学家和一个经济学家共聚在酒吧。等等，不对。应该是一个数学家、一个政治学家和一个经济学家最近合写了篇论文。别吃惊，这是真的。他们指出，在特定情况下，两个人在分完某样东西以后，都会觉得自己得到的那份比较多。当然，这可不是魔术师用镜子和烟雾制造出来的假象。

这篇论文刊登在《美国数学学会通报》的2006年12月刊上，标题是“切蛋糕的更好方法”。这并非研习磨刀术，它真正论及的是，如何切分东西以最大限度地满足各方的需求——对于一场生日聚会而言，各方就是会分得蛋糕的那些人。“我们以蛋糕作为比喻，来描述各类可以分割的物体，不同的人对它有着不同的偏好，”美国蒙特克莱尔州立大学的数学家迈克尔•琼斯（michael Jone）这样解释道。因此，这块蛋糕是一种象征，它可以是一块既有树林又有海滩的土地，也可以是一套公寓——小房间可以观景，而大房间则没有窗户。这块蛋糕还可以是一只鸡，既有胸肉，又有腿肉。

不过，这块蛋糕却无法代表馅饼。事实上，对于蛋糕切分理论，数学家有着丰富的研究历史（虽然仍显不足和陈腐），这种理论研究如何一刀划分整个空间。有一篇关于馅饼切分理论的文献写道，馅饼的切法是从中心开始下刀，然后呈放射状地往外拖。所以，完全切开一块馅饼需要两刀。不过，琼斯指出，从数学的角度上说，“你可以把一块已经切了一刀的馅饼看作一块蛋糕”。听上去，这像是隐居在山顶的智者会对贝蒂•克罗克（Betty Crocker）说的话。

不管怎样，还是回到费伯学园的返校日聚会上来。现在的任务，就是要切蛋糕。如果两个人用传统的手段瓜分蛋糕，那么方法相当简单，而且历史悠久——即使是在玛丽•安托瓦内特提议民众吃蛋糕的年代，也显得颇为老套。这个方法就是：一人切，另一人选。如此一来，切蛋糕的人会力求切分均匀，因为他知道，如果有所不公，必定会得到较小的那块。

但是这种切分方式对某些蛋糕来说就行不通了。“例如，”琼斯说道，“如果一个蛋糕一半是巧克力口味，一半是香草口味，而一方更喜欢巧克力口味，另一方却没有偏好，那么就存在某种切法，可以令他们在感觉上都得到大半个蛋糕。”切分过程涉及到的公式，欢迎你在家中用丹麦甜点温习一下，尤其，当两个以上的人分享蛋糕时，这个过程会变得相当复杂。但是，在两个人分享巧克力香草蛋糕的例子中，你就能明白这个道理：如果巧克力口味钟爱者得到了巧克力部分的80％（尽管只占了整块蛋糕的40％），他就会心满意足。而他那位没有偏好的伙伴，在得到剩下60％的蛋糕时，也同样会心满意足。可见，蛋糕制作商把蛋糕做得越来越复杂，价格也标得越来越高，其实是有经济动因的。

这个蛋糕切分理论可以应用于诸多场合，例如土地分割谈判等。它也间接地阐明了，安然公司的图谋有欠完备。因为这个理论证明，你真的可以得到多于百分之百的蛋糕。但是，你至少得先有个蛋糕。

译注：
1)《制片人》，拍摄于1968年的经典荒诞喜剧片，讲述了一位落魄的原百老汇制片人跟一个“高级经济师”联手，吸引风险投资家出钱排戏，再阴谋搞砸这部《希特勒的春天》，好让投资全都落入他们个人的腰包。未曾想，那部“大话希特勒”版的闹剧大受欢迎，他们的计划也因此暴露，双双上了法庭。2005年，美国好莱坞曾翻拍此片。

2）贝蒂•克罗克是上世纪20年代，美国一家食品公司创造出来的虚拟人物，最初是为了回答顾客提出的各种有关烘培食品的问题。后来，贝蒂•克罗克出现在广播中，开办了美国第一个烹饪类节目，并且长盛不衰，成为美国家喻户晓的食品烹饪专家。现在，这个名字还成了食品和厨具的品牌——贝蒂妙厨。

3）费伯学院，1978年拍摄的美国校园喜剧《动物屋》中的学院。该片被评为史上50部最伟大的喜剧电影之一，曾经风靡全美国校园。

4)  玛丽•安托瓦内特是奥地利皇帝弗兰茨一世的女儿，14岁就入主法国凡尔赛宫，19岁成为法国国王路易十六的王后。她不解民情，当知道老百姓没有面包果腹时，惊讶道：那么他们不吃蛋糕啊！